1860年起，他先后在徐有壬、曾国藩军中做幕僚，与化学家徐寿、数学家华蘅芳等人一起，积极参与洋务运动中的科技学术活动。1867年他在南京出版《则古昔斋算学》，汇集了二十多年来在数学、天文学和弹道学等方面的著作，计有《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》、《垛积比类》、《四元解》、《麟德术解》、《椭圆正术解》、《椭圆新术》、《椭圆拾遗》、《火器真诀》、《对数尖锥变法释》、《级数回求》和《天算或问》等13种24卷，共约15万字。
1868年，李善兰被荐任北京同文馆天文算学总教习，直至1882年他逝世为止，从事数学教育十余年，其间审定了《同文馆算学课艺》等数学教材，培养了一大批数学人才，是中国近代数学教育的鼻祖。
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李善兰的诗
15岁时，李善兰做诗的水平也大有提高，如：
膝下依依十五秋，光阴瞬息去难留，
嗟余马齿徒加长，爆竹惊心岁已周。
再如：
数声爆竹岁朝天，惭愧平与会讲年，
一岁功程今日始，急需早著祖生鞭。
都是写得很好的佳句。他年轻时写的《夏日田园杂兴》和《田家》等诗，
如：
提筐去采陌头桑，闭户看桑月夜忙，
得到丝成空费力，一身仍是布衣裳。
颇为同情劳动人民的辛苦。
李善兰生性落拓，潜心科学，淡于利禄。晚年官至三品，授户部正郎、广东司行走、总理各国事务衙门章京等职，但他从来没有离开过同文馆教学岗位，也没有中断过科学研究特别是数学研究工作。他的数学著作，除《则古昔斋算学》外，尚有《考数根法》、《粟布演草》、《测圆海镜解》、《九容图表》，而未刊行者，有《造整数勾股级数法》、《开方古义》、《群经算学考》、《代数难题解》等。
李善兰在数学研究方面的成就，主要有尖锥术、垛积术和素数论三项。尖锥术理论主要见于《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》三种著作，成书年代约为1845年，当时解析几何与微积分学尚未传入中国。李善兰创立的“尖锥”概念，是一种处理代数问题的几何模型，他对“尖锥曲线”的描述实质上相当于给出了直线、抛物线、立方抛物线等方程。他创造的“尖锥求积术”，相当于幂函数的定积分公式和逐项积分法则。他用“分离元数法”独立地得出了二项平方根的幂级数展开式。结合“尖锥求积术”，得到了无穷级数表达式。
各种三角函数和反三角函数的展开式，以及对数函数的展开式在使用微积分方法处理数学问题方面取得了创造性的成就。垛积术理论主要见于《垛积比类》，写于1859…1867年间，这是有关高阶等差级数的著作。李善兰从研究中国传统的垛积问题入手，获得了一些相当于现代组合数学中的成果。例如，“三角垛有积求高开方廉隅表”和“乘方垛各廉表”实质上就是组合数学中著名的第一种斯特林数和欧拉数。驰名中外的“李善兰恒等式”自20世纪30年代以来，受到国际数学界的普遍关注和赞赏。可以认为，《垛积比类》是早期组合论的杰作。
素数论主要见于《考数根法》，发表于1872年，这是中国素数论方面最早的著作。在判别一个自然数是否为素数时，李善兰证明了著名的费马素数定理，并指出了它的逆定理不真。
1882年2月19日，逝世于北京四牌楼什锦花园胡同，享年72岁。逝世前，他还手著《级数勾股》2卷。
——传世佳言——
凡式中含天，为天之函数。
小学略通书数，大隐不在山林。
第13章 伽罗华
姓名：伽罗华
出生地：法国巴黎
生卒年：1811…1832年
历史评价lishipingjia
伽罗华是法国对函数论、方程式论和数论做出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础。
伽罗华生于离巴黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长，还当过多年市长。家庭的影响使伽罗华一向勇往直前，无所畏惧。1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助。老师们对他的评价是“只宜在数学的尖端领域里工作”。
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数学世界的顽强斗士
1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。
1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。
1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家理解这篇论文绞尽了脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。但伽罗华没有放弃对数学的研究。
1828年，17岁的伽罗华开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的方程来解决问题。伽罗华最重要的成就，是提出“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌。1829年5月，18岁的伽罗华将自己关于群论的研究写成论文，递交法国科学院，但伴随着这篇杰作而来的是一连串的打击和不幸。先是父亲因不堪忍受教士诽谤而自杀，接着因他的答辩既简捷又深奥令考官们不满而未能进入著名的巴黎综合技术学校。至于他的论文，先是被认为新概念太多又过于简略而要求重写；第二份推导详尽的稿子又因审稿人病逝而下落不明。1831年1月，伽罗华又将其论文交给著名数学家泊松，再次遭到了指责，仅仅因评阅人不能全部看懂而被否定。虽然不为人理解，伽罗华对自己的成果充满自信。他在信中对朋友薛伐里叶说：“你可以公开请求雅可比或者高斯，不是对这些定理的真实性，而是对于其重要性表示意见。在这以后，我希望有一些人将会发现，把这堆东西注释出来对他们是有益的。”
——传世佳言——
伽罗华的遗言：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”
青年伽罗华一方面追求数学的真知，另一方面又献身于追求社会正义的事业。伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易·腓力浦朝代初期，他是当时最先进的革命政治集团——共和党的成员。这时法国激烈的政治斗争吸收了年轻热情的伽罗华。他反对学校的苛刻校规，抨击校长在七月政变中的两面行为，以至于1830年2月被开除。之后，他进一步积极参加政治活动。1830年6月，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。由于警方没有证据，不久即被释放。7月，在法国七月革命中，作为高等师范学校新生，伽罗华率领群众走上街头，抗议国王的专制统治，然后被反动王朝视为危险分子再次投入监狱。在狱中他染上了霍乱，并曾遭暗枪射击，幸未击中。即使在这样的恶劣条件下，伽罗华仍然继续搞他的数学研究，并且写成了论文。
出狱后不久，1831年5月29日，年轻气盛的伽罗华卷入了另一场无聊的“爱情”纠葛。为了所谓的“爱情与荣誉”而被迫与人决斗——历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的。伽罗华的心里非常清楚自己的命运。如何度过这最后的夜晚？他坚信他头脑中的东西是有价值的。在死亡之前尽快地写，把他丰富的思想中那些伟大的东西尽量写出来。他不时中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，一劳永逸地为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一个极为重要的分支。
第14章 黎曼
姓名：黎曼
出生地：德国北部
生卒年：1826…1866年
历史评价lishipingjia
黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。
1826年9月17日，黎曼出生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。
由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。
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复变函数论的奠基人
在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，在对函数性质的研究中获得一系列成果。
经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的特例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。
1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥丁根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。
1851年，黎曼获得数学博士学位；1854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。
因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。
——传世佳言——
黎曼把数学向前推进了几代人的时间。
黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。
第15章 华蘅芳
姓名：华蘅芳
出生地：江苏无锡
生卒年：1833…1902年
历史评价lishipingjia
华蘅芳官至四品，但非从政。他不慕荣利，穷约终身，坚持了科学、教育的道路，与李善兰、徐寿齐名，同为中国近代科学事业的先行者。
华蘅芳，字若汀，出身于江苏无锡南延乡荡口的一个小官僚家庭。无锡是鱼米之乡，富有文化传统。华蘅芳14岁那年，从他的同乡、著名学者徐寿那里借到一本明代程大位的著作《算法统宗》，爱不释手，细心研读，书中所列难题，被他逐一攻破。父亲见他如此爱好数学，便引导他往这方面发展，于是买了许多数学书籍供他阅读。父亲的支持使他进一步对算学产生浓厚的兴趣，渐渐达到入迷的程度。他常常是钻进书房，整日演算。后来回顾这段生活时，他这样写道：“吾于算学生平未尝受业于人，自十五六岁时偶于政书中检得坊本算法，心窃喜之，日夕展玩，不数月而尽通其义；吾父见其癖嗜此学，必是性之所近也，遂为之购求算学之书。”
后来，他又得到秦九韶、李冶、朱世杰、梅文鼎、李锐、焦循、汪莱等人的各种算书，也都一一勤加考究，并弄通了古今中外数学的异同之处。华蘅芳的青少年时代就是这样度过的。他无师自通，通过自学，对上自秦汉下至明清的大量算学著作进行了比较全面、系统的学习与钻研，又接触了一些刚引进不久的西方数学，极大地丰富了自己，为以后攀登数学高峰，打下了坚实的基础。
1861年，华蘅芳来到曾国藩军中，佐理洋务新政。1865年，曾国藩、李鸿章在上海开始创办江南制造局，这是洋务派创办的最大一所兵工企业，华蘅芳被派往上海参加制造局的筹建工作。他得知自己仰慕已久的数学家李善兰正在上海，与伟烈亚力合作进行数学翻译工作，便登门拜见，虚心求教。李善兰回答了华蘅芳提出的一些疑难问题，介绍了西方数学研究的情况，使他眼界大开。两人从此开始了交往。
华蘅芳从李善兰那里了解到他正在翻译《代数学》、《代微积拾级》，知道除天元术外，还有微分、积分这些学问。李善兰、伟烈亚力的译著出版后，华蘅芳便对这些书反复阅读、研究。当他完全领会了内容、方法的实质之后，又结合中国的传统算学进行对比，从而发觉微分法与积分法同天元术大不相同。从层次来看，微积分比天元术深奥曲折；从应用来看，微积分比天元术应用更广。从此之后，他加强了对代数、微积分的研究，进而对西方近代数学有了更深入的了解。
但是华蘅芳感到，李善兰、伟烈亚力翻译的数学著作，对初学者来说是很难入门的。他决定自己以后也应加入到译介西方数学论著的行列中来。1868年，上海江南制造局里添设了翻译馆，这正是华蘅芳所希望的，他便进了翻译馆，着手进行西方科学书籍的翻译工作。起初，他与美国人玛高温等人合作，翻译了《金石识别》、《地学浅释》、《防海新论》、《御风要术》等著作，随后，就与英国人傅兰雅合作，专门翻译数学著作。他们合译的主要数学著作有：
《代数术》25卷，1873年。英国华里司著，内容以介绍代数、三角为主。
《微