二、时间范围较宽，上下至少包罗800年。据研究，“辀人为辀”条关于七星像鹑
火的记载，大约是相当于公元前1200年左右的天象。“堨氏为量”条说：“嘉量既成，
以观四周。永启厥后，兹器惟则”，这显然是周天子的口吻。“攻金之工”说到了铜镜
等器物应当使用的合金成分，而从大量考古实物的科学分析看，我国古代青铜合金技术
的成熟期当在春秋战国时，铜镜技术之兴盛，则是战国中晚期的事。从书中还掺有齐国
方言，看其下限当在战国时代。
三、其技术内容既具有实践性，又富有“理想性”；许多文字既是生产经验的总结，
又可作为指导生产实践的一种工艺规范。但也有一些文字，则是一种试验资料的反映，
有的则带有“理想化”的成分，未必能够作为一种指导实践的工艺规范。前者如“钟氏
染羽”、“覩氏湅*丝”等所云，后者如文献规定的部分器物的具体成分和尺寸。
四、其许多技术规范反映了周王朝的一些典章制度。如“玉人之事”条说：“镇圭
尺有二寸，天子守之。命圭九寸，谓之桓圭，公守之；命圭七寸，谓之信圭，候守之；
命圭七寸，谓之躬圭，伯守之。”等等。
总之，《考工记》一书从多方面反映了先秦科学技术的发展状况和先进水平以及人
们对生产过程规范化的一些设想和周王朝的一些典章制度。这是我国古代比较全面地反
映整个手工业技术的唯一的一本专著。本书的主要科技多成就在于：
在金属冶铸方面。“攻金之工·六齐”条谈到了不同使用性能的器物应使用不同成
分的合金，说：“六分其金而锡居一，谓之钟鼎之齐；五分其金而锡居一，谓之斧斤之
齐……”这是世界上最早的合金规律。“堨氏为量”条谈到了合金熔炼过程中，如何依
据火焰和烟气颜色来辨别熔炼进程，这是世界上关于观察熔炼火候的最早记载。
在丝绸漂湅*印染技术方面。“覩氏湅*丝”条谈到了“以栏（楝）为灰，渥淳其
帛”，“昼暴诸日”等丝绸漂湅*操作，这是我国古代关于灰水脱胶，日光脱胶漂白的
最早记载。“钟氏染羽”条谈到了“三入为纁，五入为緅，七入为缁”的染色工艺，这
是我国古代关于媒染剂染色的最早记载。这些记载在世界上也是较早的。
在标准化管理方面。“堨氏为量”条说金属熔炼时，需“不耗然后权之，权之然后
准之，准之然后量之”。这是对熔炼工艺的一种规范。又如“车有六等之数”条说：
“兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸”。
这是对车轮尺寸的一种标准化管理。若依齐尺（每尺约合19．7厘米）推算，此兵
车、乘车之轮径应为1．30米；而经测量，河南辉县琉璃阁战国墓出土的16号车轮径正
好为1．30米。
在力学方面。这方面的论述是较多的，在“轮人”，“骑人”，“弓人”，“矢
人”，“匠人”等条都曾涉及，有的论述甚至相当精辟。如“车有六等之数”条说：
“轮已崇，则人不能登也，轮已庳，则于马终古登阤也。”这是我国古代关于滚动摩擦
与轮径关系的最早记载。又如“矢人为矢”条说：“水之以辨其阴阳，夹其阴阳以设其
比，夹其比以设其羽，参分其羽以设其刃，则虽有疾风，亦弗之能惮矣。”这是我国古
代以沉浮法来确定物体的质量分布，把箭羽作为负反馈控制装置的最早记载。
在声学方面。“凫氏为钟”条、“磬人为磬”条等都从定性方面对发声理论作出了
精辟的论述。如“凫氏为钟”条说：
“薄厚之所震动，清浊之所由出，……钟已厚则石，已薄则播。”
“钟大而短，则其声疾而短闻；钟小而长，则其声舒而远闻。”
“韗人为臬陶”条也有类似的说法。“磬氏为磬”条说，磬声“已上，则摩其旁，
已下则摩其耑”。这后者说的是一种调音方。这是我国古代打击乐器发声理论的较早记
载。
在实用数学方面。“车人之事”条、“築氏为削”条、“辀人为辀”条、“轮人为
轮”条、“矢人为矢”条、“堨氏为量”条等，都包含有丰富的实用数学知识，并分别
涉及到了分数、角度、嘉量容器的计算方法等问题，对后世产生过不同程度的影响。如
“车人之事”条谈到了矩、宣、欘、柯、磬折，这是我国最早的一套角度概念。
在天文学方面。“辀人为辀”条谈到了二十八星和四象，且明确地提到了其中一些
星的名称，一般认为，这是我国古代关于二十八星最早的较为明确的记载。《周礼·春
官·冯相氏》、《周礼·秋官·哲簇氏》虽也提到过二十八星，但都不曾明确地提到星
名和四象。
《考工记》一书自被汉代人发掘出来，并被拼入《周礼》后，一直受到世人推崇，
历代知识分子多以之作为必读之物，在国内外都产生过许多积极的影响。因该书文字古
奥艰深，且有一些错简、漏简，故历代学者对它进行了许多注释。尤以元、明、清三代
为盛。在元明时期，这种专门的注释本便近20种，其中大家比较熟悉的有徐光启《考工
记解》（2卷）等。
清代，专著便达20余种，散篇则在40种以上，大家比较熟悉的专著有载震《考工记
图》（2卷）、程瑶田《考工创物小记》（8卷）等。今最为通行的是汉郑玄“注”本、
唐贾公彦“疏”本、清孙诒让“正义”本。汉代《考工记》隶订本大约7000余字，清
“正义”本则有数10万字之巨。如此这般受人重视，在我国古代典籍中是为数不多的。
大约还在唐代，《周礼》便传到了日本；19世纪50年代，《周礼》又被译成了法文，
《考工记》亦随之传到了日本和西方。现在它已受到了更多外国学者的注意和重视。
北极星书库｜｜ebook007
北极星书库｜｜ ebook007影响中国的100本书
69 《九章算术》
“算经之首”
我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经
之首的《九章算术》。它是我国现存最早的数学专著，其传本包括《九章算术》本文、
曹魏刘徽注、唐初李淳风等注释三部分内容。
《九章算术》集先秦至西汉我国数学知识之大成，其编纂也是集体劳动的成果。根
据刘徽的记载，《九章算术》是从先秦“九数”发展来的。暴秦焚书，经术散坏。西汉
张苍（？—前152年）、耿寿昌（前1世纪）收集遗文残稿，加以删补整理，编成《九章
算术》。
《九章算术》包括了近百条一般性的抽象公式、解法，246个应用问题，分属方田、
粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。
方田章提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除
四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。
粟米章提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；商功
章除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；均输章用衰分术解决赋役的合理
负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复
比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
少广章介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最
早的多位数和分数开方法则。它奠定了我国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基
础。
盈不足章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，
以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地
位的成果，传到西方后，影响极大。
方程章采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时
使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。
在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使
用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线
性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次
突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
勾股章提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则
m＞n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到
3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些
内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出了这样一组公式：
这在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，
以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后我国数学著
作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例著书；甚至西算传入中国之后，人们著
书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入“九章”的框架。
然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给
出任何推导和证明。魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了
这个缺陷。
刘徽是我国也是世界历史上最伟大的数学家之一。遗憾的是，他的生平我们现在知
之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》
的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。
刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和
数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出“凡数相与者
谓之率”，把“率”定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为“今两算得失相反，
要令正负以名之”，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相
反的相对关系。
《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化
了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出
其中的各种率关系，通过“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”，都可以归结为今有术
求解。
一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或
立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。
基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是我国古代数学进行几何推演和证明时最
常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面
积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。
在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。
《九章算术》提出圆面积公式S＝l/2·r（S为圆面积，l为圆周长，r为半径）。为
证明这个公式，刘徽从圆内接正六边形S6（称为六觚）开始割圆，依次得圆内接正十二
边形S12，圆内接正二十四边形S24，……S6·2的n次方……所有S6·2的n次方＜S，但
“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这相
当于：
然后他证明
而
。于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积，再把这个正多边形分割
成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和，所谓“觚而裁之，每辄自倍。
故以半周乘半径而为圆幂”。从明证明了S＝l/2·r。刘批评了以往“圆径一而周
三”的错误，指出此公式中周径是“至然之数”，即圆周率π。他以此公式为基础，求
出了π的两个近似值157/20和3927/1250，在中国首次创立了求圆周率的科学方法，奠
定了我国圆周率研究在世界长期领先的基础。
刘徽注关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积
的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这
个问题，他提出了一个重要原理“邪解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，今称为刘徽原理。刘徽平分壍堵的长、宽、
高，通过出入相补，可以证明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4与原壍堵的结
构相同，可以重复上述分割，又可以证明其3/4中这个原理成立。这个过程可以无限继
续下去，“半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？”完成
了该原理的证明。由壍堵的体积公式v＝1/2abh，便证明《九章算术》提出的阳马体积
公式v＝1/3abh，鳖臑的体积公式v＝1/6abh。近代数学大师高斯、希尔伯特才讨论这个
问题，已是近100多年以来的事。
刘徽注多方面表述了今天称之为祖暅之原理的命题，并由此证明了《九章算术》中
球体积公式的错误。他设计了牟合方盖，指出球与牟合方盖的体积之比是π∶4，只要
求出后者的体积就可以求出球体积了。他尽管没能求出牟合方盖的体积，但诚恳地表示
“以俟能言者”，表现出一位伟大学者的坦荡胸怀。这个问题后来由祖冲之父子彻底解
决，李淳风注释《九章算术》时详细记述了祖氏的方法。
刘徽注中还有不少有价值的成就。如对开方不尽，提出继续开方，求其“微数”，
以十进分数逼近无理根，开十进小数之先�