摩笈多。他提出了负数的四种运算，并且指出正数的平方根有两个，一正一
负。他也提到负数的平方根的问题，但他说负数没有平方根，因为负数不能
是平方数。
印度人在算术上正视了无理数问题，开始按正确的方法来运算这些数。
婆什迦罗给出了两个无理数相加的法则：“较大的无理数除以较小的，所得
之商开方，再加 1，和数取平方，然后乘以较小的无理数，其根即为两无理
数之和。”举例来说，就是
12
3
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但是已经使印度代数初具符号代数的性质。
印度人找到了二次方程的一般解法，这也是一项很重要的工作。他们把
二次方程归结为
2
ax＋bx=c
某些系数可以是负数。波罗摩笈多给出的求根法则是：“把常数项放在
未知数的平方项和一次项的另外一边，将常数项乘以平方项＇的系数＇的四
倍，加上一次项＇的系数＇的平方，所得的结果的平方根减去一次项＇的系数＇，
再除以平方项＇的系数＇的二倍，就是一次项的值。”用现代数学符号表示就
是：
4ac
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2。阿拉伯数学
这里所说的阿拉伯数学，主要是因为这些著作的文字是阿拉伯文它们实
际是阿拉伯帝国统治下的各民族学者，包括波斯人、花拉子模人、阿拉伯人、
希腊人、犹太人等共同创造的。
阿拉伯人的数学来自希腊手稿以及叙利亚与希伯来译本。从8世纪到9
世纪中叶，阿拉伯学者大量翻译了希腊著作的手抄本和东罗马的原稿，使大
量的古代科学遗产获得了新生。被翻译的古典著作中有欧几里得、阿基米德、
阿波罗尼、梅内劳斯、赫伦、托勒密和丢番图等著名学者的数学著作，还有
印度数学家波罗摩笈多的著作。当古希腊的原著失传后，这些阿拉伯译本就
成为欧洲人了解古希腊数学的主要来源。
经过大量的翻译工作，阿拉伯人进入了吸收和创造时期。从9世纪到14
世纪，先后出现了大批著名数学家：阿尔·花拉子模（约780—850）、阿尔·巴
塔尼 （约858—929）、阿布尔·瓦发（940—998）、阿尔·毕鲁尼（973—
1050）、莪默·伽亚谟（1048—1131）、纳述·拉丁（1201—1274）以及阿
尔·卡西（？—1429或1436）等。他们在吸收希腊、印度数学的基础上，创
造了阿拉伯数学，为数学的发展作出了卓越贡献。
阿拉伯原来只有数词，没有数字。在征服埃及、叙利亚等国后，阿拉伯
人使用希腊字母记数法。公元8世纪，印度学者把天文学名著《历数书》传
入阿拔斯王朝阿尔曼苏的宫庭中，从此印度数字传入阿拉伯国家。这些数字
经过改造，再通过阿尔·花拉子模的著作传入欧洲，所以欧洲人称之为“阿
拉伯数字”。
阿尔·花拉子模（约780—850）是阿拉伯数学史初期最重要的代表人物
之一。他曾经摘录了印度学者的天文表，编辑了阿拉伯最古老的天文表，校
对了托勒密的天文表，他还编著了有关阿拉伯国家算术和代数的最早书籍。
这些著作对阿拉伯数学的发展有着重要的影响。
在代数方面，阿拉伯人的第一个贡献是提供了这门学科的名称。西文
“algebra”（代数）这个词来源于阿尔·花拉子模的数学著作《Al—jabr’ W
al muqabala》。Al’muqabala的意思是化简，Al—jabr这个字以后又有“接
骨者”的意思。当阿尔·花拉子模的书在 12世纪译成拉丁文时，书名译为
《Ludus algebrate etalmucgra》。从此，这门学科就简称为balaeque
algebra（代数）。
阿拉伯人还提出了二次方程的一般解法。阿尔·花拉子模所论述的二次
方程可举一例如下：“根的平方和十个根等于三十九”。他给出的解法是：
“取根数目的一半，在这里就是五，然后让它自乘得结果为二十五，把这同
三十九相加得六十四，开平方得八，再减掉根数的一半就是说减掉五，余三，
这就是根。”解法正好就是配方所该做的步骤。
阿拉伯人提出了三次方程的几何解法。波斯诗人、数学家莪默·伽亚谟
3
以x＋Bx=C（B和C都是正数）说明他的方法。
3 2 2 2 2
伽亚谟把方程写成x＋bx=bC这里b=B；bc=C。然后他作一个正焦弦为b
的抛物线，接着在长度为C的直径QR上作半圆。于是抛物线与半圆的交点P
就定出垂线PS，而QS便是三次方程的解。用圆锥曲线相交来解三次方程是
阿拉伯人在代数发展史上迈出的一大步，也是中世纪数学的最大成就之一。
阿拉伯人在几何学方面没有取得很多进展，但是阿拉伯人收藏了欧洲早
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已失传的古希腊数学手稿，欧几里德、阿基米德和赫伦的作品均被翻译成阿
拉伯文。阿拉伯人还对欧几里德的《原本》作过评注。因此阿拉伯几何的贡
献主要是起了冷藏库的作用。
阿拉伯三角学的产生与发展与阿拉伯天文学的发展有密切关系。阿拉伯
天文学家阿布尔·瓦发引入了正切和余切概念。他把所有的三角函数线都定
义在同一个圆上，正切、余切作为圆的切线段被引入。他还在一本天文著作
中引入了正割与余割概念。另一个天文学家阿尔·巴塔尼给出了平面三角形
的正弦定律，他还予以证明。
阿拉伯三角学的系统化是由纳述·拉丁完成的。他在一本数学著作《论
四边形》中给出了解球面直角三角形的六个基本公式，并指出如何用现今所
谓的“极三角形”来解更一般的三角形。由于这本书非常地完整建立了三角
学的系统，而且使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，因此它在三角
学史上具有特别重要的地位，对三角学在欧洲的发展起了决定性的作用。
阿拉伯的数学著作风格独具特色。在大量的数学书籍中都选用生动有
趣、丰富多彩的例题与习题，这是东方数学特有的风格。而且许多数学著作
十分注意证明的论据、材料的系统安排，叙述完备、清晰，这也是可取的。
阿拉伯数学成就在公元1000年左右达到顶峰，从1100年到1300年间，
基督教十字军的东征沉重打击了阿拉伯人。其后蒙古人、鞑靼人的入侵把阿
拉伯文明摧毁殆尽，阿拉伯的数学活动遂告一终结。此后，阿拉伯的数学成
就传入欧洲，为欧洲数学的崛起奠定了基础。因此，阿拉伯数学在世界数学
史上起着承前启后、继往开来的作用，是数学发展过程中的重要环节。
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3。欧洲数学
中世期初期，大约从公元400年到1100年长达700年之久的时间里，欧
洲数学一直没有取得进展，也没有人认真搞数学工作。
数学水平之所以低，主要是因为对物理世界缺乏兴趣。数学史家克莱因
认为：“数学显然不能在一个只重世务或只信天国的文明中繁荣滋长。我们
可以看到，数学在一个自由的学术气氛中最能获得成功。那里既能对物理世
界所提出的问题发生兴趣，又有人愿意从抽象方面去思考由这些问题所引起
的概念，而不计其是否能谋取眼前的或实际的利益。自然界是产生概念的温
床，然后必须对概念本身进行研究。然后，反过来，能对自然获得新的观点，
对它有更丰富、更广泛、更强有力的理解，而这又产生出更深刻的数学工作。”
当时在欧洲占统治地位的基督教规定了它的目标、价值和生活方式。教
徒们主要关心的是精神生活，因而认为出于好奇心或实用目的而探索自然的
工作是微不足道的。欧洲人认为所有的知识都来源于研读《圣经》，教会神
甫的教导和教条是《圣经》的补充发挥和解释，具有至高无上的权威。圣·奥
古斯丁曾说：“从圣经以外获得的任何知识，如果它是有害的，理应加以排
斥；如果它是有益的，那它是会包含在圣经里的。”这段话代表了中世纪早
期的人对研究自然的态度。因此，欧洲中世纪早期没有产生重大的数学成果。
当时教会势力遍及各地，拉丁文是教会的官方语言，因而它就成为欧洲
的国际语言以及包括数学在内的一切科学的通用文字。因此，欧洲人主要从
拉丁文（即罗马）书籍来获取他们所需要的知识。由于罗马人的数学微不足
道，所以欧洲人所学到的只不过是非常原始的一套计数法和少量算术法则。
他们也通过少数翻译家汲取一点希腊数学知识。
其中主要的翻译家有波伊修（约480—524）。他出身罗马贵族家庭。波
伊修根据希腊材料用拉丁文选编了算术、几何的初级读物。他从欧几里德的
《原本》里译了3到5篇的材料，组成他的 《几何》。他翻译了400年前尼
可马修斯所著的《算术入门》而写成《算术入门》一书。他还创造了“四大
科”这个词来代表算术、几何、音乐和天文。
波伊修的数学著作一直作为教会学校的标准课本，被使用了近千年之
久。他最有影响的著作是《哲学的安慰》，这本书是由于波伊修遭受政治迫
害，在监狱中写成的。他也因为此书而成为中世纪经院哲学的先驱之一。
虽然中世纪初期的数学成果不多，但是在中世纪学校的课程里数学还是
相当重要的。课程分为四大科和三文。四大科包括：算术 （纯数的科学）、
音乐（数的一个应用）、几何（关于长度、面积、体积和其他储量的学问）、
天文 （关于运动中的量的学问）。三文包括修辞、辩证和文法。
教会提倡教授数学，是因为它对修日历和预报节日有用。促使欧洲人学
习一点数学的另一动机是占星术。这门伪科学在巴比伦人、古希腊人和阿拉
伯人那里颇为风行，而在中世纪的欧洲则几乎普遍被人接受。占星术的基本
信条是说天体能影响和控制人体以及人的命运。为了解天体的影响并预报特
殊的天象事件，如行星的会合和日月蚀所展示的吉凶祸福，那就需要有些天
文知识，因此少不了要懂点数学。占星术到中世纪后期变得特别重要，这在
客观上促进了欧洲数学的复苏。
到了1100年左右，新的思潮开始影响当时的学术气氛。一方面因为欧洲
手工业和商业经过漫长的黑暗时期，逐渐得到恢复，开始出现新兴的城市。
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在一些城市中开始设立非教会的学校，并在一些学校的基础上发展成为大
学。其中较早的有意大利的波隆尼大学（公元1088年）、法国的巴黎大学（公
元1160年），以及英国的牛津大学 （公元1167年）等。人们对世俗知识的
需要显著增加。这些大学的产生和发展，既形成了欧洲数学的中心，也是诞
生数学家的摇篮。
更重要的是欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以
及东罗马帝国的拜占庭人发生接触。十字军东征（约1100—1300）为掠取土
地的军事征服，使欧洲人进入阿拉伯土地，欧洲人大规模地接触到东方的文
明，使他们大开眼界，激起了他们学习东方科学知识的热情。
交流的中心有三个地方：君士坦丁堡、帕勒尔摩和投雷多，其中以阿拉
伯的学术中心投雷多为主。12世纪的投雷多大主教雷蒙德创办了一所翻译学
院，对阿拉伯文的哲学和数学著作进行全面翻译。在大规模的翻译活动中，
贡献最大的是意大利克利蒙那的杰勒德 （1114—1187），他从阿拉伯文一共
转译了80多部著作。
欧洲人通过阿拉伯数学的输入，发现了希腊数学，并引起了他们极大的
兴趣。在被欧洲人译出的著作有欧几里德的《几何原本》、花拉子模的《代
数》、泰奥多希乌斯的《球面学》、阿基米德的《圆的度量》，还有亚里士
多德、赫伦的许多著作。这些译本成了中世纪欧洲数学发展的基础。
希腊和阿拉伯著作的译本传到欧洲后，对自然现象的理性探讨，并以自
然原因而不以道德和神意的原因作解释的风气立刻就呈现出生命力。罗吉
尔·培根（1214—1294）就是这时期欧洲理性主义和对自然兴趣复活的代表。
罗吉尔·培根出生于英国一个贵族家庭，曾在牛津大学和巴黎大学任教。
他会多种文字，几乎对当时的一切知识领域都有兴趣，在数学、力学、光学、
天文、地理、化学、医学、音乐、逻辑、文学以及神学方面都有一定的研究，
有“万能博士”之称。
罗吉尔·培根提倡科学、重视实验、反抗权威。他懂得可靠的知识是怎
么来的，探讨了使科学获得进展或受到阻挠的原因，并提出了改革研究方法
的意见。他虽然也劝人阅读《圣经》，但是更强调数学和实验，并大胆预见
了科学造福于人类的伟大前景。
他确信数学思想是与生俱来的并且是同自然事物本身相一致的。因为自
然界是用几何语言编写而成的，所以数学能提供真理。它先于其他科学，处
理直觉所感知的量。他在所著《大作》的一章中证明所有科学都需要数学�
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