理直觉所感知的量。他在所著《大作》的一章中证明所有科学都需要数学，
表明他正确认识到数学在科学中的作用。《大作》中还谈了不少数学对地理、
年表学、音乐、彩虹的解释、编日历和确定信念的作用，论述了数学在国家
管理、气象学、水文学、占星术、透视学、光学和视象成因等方面的作用。
由于罗吉尔·培根批判了经院哲学和教义，1257年他被赶出巴黎大学，
在寺院幽禁十年，直到1268年才获释回牛津工作。1278年，他又被投入监
狱达14年之久，并就此了结一生。
欧洲数学早期的主要代表，是意大利的斐波那契（约1170—1250）。他
曾到北非受教育，并广泛游历过地中海与中亚细亚各民族的文化中心，拜访
了各地的学者，积累了许多东方的数学知识，特别熟悉各国的算术系统。
斐波那契发现“阿拉伯数字”是最好的计数符号，回意大利便写成名著
《算经》（又译作《算盘书》，公元1202年）。当时欧洲已知道一点阿拉伯
记数法和印度算法，但是一般人还是用罗马数字，而且因为他们不懂零的意
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思，因此避免用零。《算经》的最大作用是向欧洲介绍了阿拉伯数字。该书
一开头就写道：“印度的数目字，为9、8、7、6、5、4、3、2、1九个，用
这九个字，与阿拉伯称之为Sifr的零号0，任何数均可以表示了。”书中还
传授了印度人用整数、分数、平方根、立方根进行计算的方法。 《算经》被
认为是中世纪欧洲最重要的数学著作，是当时欧洲各民族的数学“百科全
书”，被学校当作标准教材使用了200年之久。它对改变欧洲数学的面貌起
了极为重要的作用。
在几何方面，斐波那契在他的《几何实习》（公元1220年）里重复讲述
了欧几里德《原本》及希腊三角术的大部分内容。他指出《原本》第十篇中
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对无理量的分类并不包括一切无理量。x＋2x＋10x=20的根不能用尺规作出。
这第一次表明数系所含的数超过希腊人以能否尺规作出为准则的范围。斐波
那契还引入了至今仍称为“斐波那契数列”的概念，在这数列中，每项等于
前两项之和。
此外，很有意义的数学成就还有尼科尔·奥雷斯姆（约1323—1382）提
出的图线原理。为了表示随时间而变的速度，他用一水平线上的点代表时间，
称之为经度；而不同时刻的速度则用纵线表示，称之为纬度。为了表示一个
从0处为OA减到B处为零的速度，他画了一个三角形。他还由此证明了：一
物体从静止开始用均匀加速度运动所经过的距离，等于这个物体在相等时间
内用最后速度的一半的均匀速度所经过的距离（三角形OAB的面积等于矩形
0CDB）。
奥雷斯姆的图线虽然还是个含糊的概念，但是他对提出函数概念，用函
数表示物理规律以及函数的分类作出贡献。因此，也有人把创立坐标几何及
函数的图象表示归功于他。
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4。中国数学
中世纪时期的中国数学基本上可以分成两个阶段：隋唐时期（581—907）
和宋元时期 （960—1368）。
隋唐时期，中国建立了数学教育制度，同时在中外数学交流方面也达到
了一个高峰。宋元时期，数学水平大为提高，出现了被称为宋元数学大家的
秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰，以及其他著名学者刘益、贾宪、沈括等人。
这一时期的成就，如珠算、天元术、四元术、大衍求一术等，代表了中国古
典数学的最高成就。
中国的数学教育有悠久的历史，据史籍记载，周代就开始有了数学教育。
但是，直到隋唐时代才建立了数学教育制度。
隋代存在的时间虽然不长（581—618），但却建立了最高学府——国子
寺，并在国子寺里设立了明算学。国子寺相当于现今的国立大学，明算学相
当于现今的数学系。国子寺在中国开创了高等数学教育机构，并设置算学博
士2人，算助教2人，从事数学教育工作。国子寺招收学生一般在80人左右。
到了唐代，在隋代数学教育的基础上，进一步发展了数学教育。唐初在
最高学府——国子监里增设六个专科，即明经、进士、秀才、明法、明字及
明算六科。出于教学的需要，李淳风等人奉勅注释并校订了十部数学书，作
为明算科的教科书。根据史料记载，这十本书是《九章》、《海岛算经》、
《孙子算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《周髀》、《五经算术》、
《缀术》、《辑古算经》和《夏侯阳算经》。这十部数学书称为“十部算经”，
是明算科学生的主要教科书。学习期间，有的学生还兼学《数术记遗》和《三
等数》。明算科的学制年限为7年，学习期满后要进行考试，要求“明数造
术，详明术理，然后为通”。考试合格的人员将交给吏部录用，给予九品以
下的官级。
隋唐设立了算学主要是因为赋税量和名目的增加，对算学的社会需要越
来越大。但是统治者解决这一需要的方法不是提高算学的社会地位，用物质
利益诱导知识层投身于算学，而是使算学职业化、技艺化。算学的设立，就
是把计算职业化的一种措施。把算学推入“吏”这个社会阶层，从而导致士
大夫与算学的进一步分离。例如汉代大儒巨卿刘向、郑玄、张衡等人都通晓
数学；南北朝的一些算学名家如何承天、祖冲之等也大多兼通儒术。然而自
隋唐以后，算学名家却大多非僧即道，或是太史局专职官员，如僧一行、付
仁均、李淳风等人，很少是名儒巨宦了。
算学的设立，最大功绩在于满足了社会对算学日益增加的需求，为社会
的许多部门培养了专业书计人员，从而对于数学——尤其实用数学的普及起
了积极作用。不过，这些专职人员大多是所谓“俗吏”，社会地位不高，从
事的工作也是一些琐屑偎杂的简单计算，无需高深的数学理论，更缺乏深入
钻研的精神。因此，南北朝时圆周率的计算已经很进步，但是直到明代，“周
三径一、方五斜七”的歌诀仍被一些算学著作津津乐道地重复着。由此可见，
官设算学校对算学的发展所起作用是很有限的。
这一时期，中国与周边国家的学术交流十分繁荣。中国数学原著通过佛
教僧侣传入朝鲜，朝鲜还仿照隋唐数学教育制度，建立了国学 （后改为大学
监）。日本采取的数学教育制度，也是仿照唐制。而且唐代随使船来中国留
学的日本学生及僧侣有十余批，共约2000人。乘商船求学的有二三十批，人
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数更多。其中有不少人就是专门来学习历法和数学的。
此外，印度的一些数学知识也于这一时期传入中国，如印度数码、正弦
数值表等。同时，有人发现印度古代数学与中国古代数学有很多相似之处，
甚至有个别部分完全一样。就时间上来说，其相似之处一般晚于中国的记载。
因此，有人怀疑印度古代数学可能也受到过中国古代数学的某些影响。
前苏联著名数学家哥尔门果洛夫指出：“中国数学和希腊、罗马、印度、
中亚和中世纪欧洲的关系还很少研究，但这种关系是存在的。不少国家的数
学手稿上，算题和数据恰恰与中国的原著相同。”由此可见，中国数学对世
界数学作出过卓越的贡献。
由于商业的发展，促进了宋元时期整个科学技术的发展，数学也达到了
较高的水平，特别在代数方面成就尤为突出。秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰
被称为宋元数学四大家，他们都遗留下大量的数学著作，成就卓著。
秦九韶 （约1202—1261），字道古，鲁郡人。他年轻时随父到杭州，得
以有机会向太史们学习天文历法。他聪敏好学，喜欢在解决实际问题中深入
研究学问。他于1247年写成数学巨著《数书九章》。
《数书九章》今传本分9类，各2类，合18卷，9类为大衍、天时、田
域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易，以习题集的形式写成，共 81
题。每题有答，有术，有草，大都配图说明，很是难得。此书在学术方面的
成就主要表现在高次方程的数值解法。书中出现的高次方程有“连枝”乘方
（最高次项系数不等于1的方程）、“玲珑”乘方（奇次幂为零的方程）等。
各项系数不限正负 （惟常数项常为负值）有所谓的“正负开方术”。书中对
大衍求一术及其应用做了详细叙述，这是中国古代在一次剩余问题解法方面
极为辉煌的成就。
李冶 （1192—1279），原名李治，字仁卿，号敬斋，真定栾城人。少时
在元氏求学，中进士后曾任钧州（今河南禹县）知事。1248年写成《测圆镜
海》十二卷。李冶1251年回到元氏，隐居于封龙山讲学。1259年又著《益
古演段》。1265年他应忽必烈之召为翰林学士，修辽金二史。一年后告老还
乡，仍隐居封龙山。李冶学习过《九章》，“洞渊九客之说”；学习过《益
古集》，“遍观诸家如积图式”。这些无疑为他的数学著作奠定了知识基础。
李冶不仅是数学家，还是一位精于文史的学者。著有“《敬斋古今黈》四十
卷，《泛说》四十卷，《文集》四十卷，《壁书丛削》十二卷。”
李冶的《益古演段》是一部关于天元术的入门书。天元术是建立代数方
程的一般方法，相当于现在的“设某为X”，并由此建立方程。由于所设的
未知数称为天元，所以这种方法就被称作“天元术”。天元术是公元11—13
世纪中国数学家的一项杰出成就。
杨辉，字谦光，钱塘 （今杭州）人。关于杨辉生卒年月、生平事迹的史
料记载很少，但是他的数学著述很丰富，虽经散佚，流传至今的尚有多种：
《详解九章算法》12卷后附《篡类》（公元1261年）
《日用算法》2卷（公元1262年）
《乘余通变本末》3卷（公元1274年）
《田亩比类乘除捷法》2卷（公元1275年）
《续古摘奇算法》2卷（公元1275年）后三种为杨辉后期的著作，一般
称之为 《杨辉算法》。
杨辉编写的算书广泛征引古代数学典籍。除汉唐以来的“算经十书”以
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外，还引用了宋代的许多算书，许多基本的算法赖以流传下来。此外，杨辉
学术上的成就主要有：《九章算法纂类》中记述的增乘开方法；《详解九章
算法》记载了西方称之为“巴斯客三角”的“开方作法本源图”。
杨辉在中国数学史上不仅是一位著述甚丰的数学家，而且是一位卓越的
数学教育家。他特别重视数学的普及教育，他的许多著作都是为普及数学教
育而编写的教科书。在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲
目”，是中国数学教育史上的一件重要文献。杨辉主张在数学教育中贯彻“须
责实有”的思想，就是紧密联系实际，发展数学研究与教育，这也是中国古
代数学优良传统之一。在数学方法上，杨辉主张循序渐进，精讲多练。主张
熟读精思，融会贯通，在广博的基础上深入，要着重于消化。杨辉还特别重
视对计算能力的培养。他十分强调习题的演算，每个学习单元都规定完成一
定数量的练习，认为这样才可以“庶久而无失念”。杨辉作为一位杰出的数
学教育家，在中国古代数学教育史上占有重要地位。他的先进的教育思想和
教学方法，是留给后世的一份珍贵遗产。
朱世杰，字汉卿，号松庭，寓居燕山 （今北京附近），是元代一位成就
卓著的数学家。他曾以数学名家之身份周游各地二十余年，为中国数学留下
两部优秀的数学著作——《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公
元1303年）。他写书的目的在于“发明《九章》之妙以淑后学”。
朱世杰在“垛积术”以及与垛积相关的内插法方面颇有造诣。他的主要
成就是“四元术”的创立。
把天元术加以推广，用以表示四元以内的方程或方程组，这样就出现了
四元术。四元术分别以天、地、人、物表示4个未知数，叫做天元、地元、
物元、人元。四元术的精华在于相消，即由该方程组经过变形得到一个一元
的高次方程。朱世杰的消去法是中国数学史上一项杰出的成就。在西方，由
方程f（x，y）＝0，g（x，y）＝0消去一个未知量的方法是法国数学家别朱
于1764年给出初步方案，直到1779年出版的《代数方程的一般理论》才正
式发表。这已在朱世杰之后400年。因此，朱世杰的工作在世界数学史上也
是一个重要成果。
宋元四大家为我国古代数学史上的巅峰人物，在全世界也是屈指可数
的。但宋元时期大数学家绝非仅此四人。此外如贾宪、刘益、沈括等人都作
出了重要贡献，“四大家”的成就是直接以他们的成就为基础的。所以，四
大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文化水平。
珠算的发明和使用，也是这一时期最伟大的数学成就之一。宋元时期，
由于商业的发达，四则运算成了商品市场中频繁使用的科学知识�
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